MATEMATICĂ. E de ajuns să rostești cuvântul ăsta într-o postare, în vreun status sau într-o discuție, ca să faci pe oricine pe o rază de 500 de metri să caște incontrolabil și să intre direct în faza de somn REM. Da, nu e chiar cel mai ok subiect de discuție, mai ales că toată lumea știe deja totul despre ea: e ceva ceva cu niște simboluri dubioase, e grea, e de neînțeles, e plictisitoare și “la ce folosește, oricum?”. Este efectiv una din cele mai neînțelese științe, mai ales că aplicabilitatea ei nu este foarte vizibilă (adică oamenii o văd, dar nu o recunosc, nu o percep ca fiind matematică). Dar de ce să rămână neînțeleasă? Nu strică niciodată să știi niște matematică. Măcar “de-ce”-urile și “în-ce-fel”-urile, pe care o să încerc să le explorez în postarea asta.

 Preludiu în a²+b²=c² major

Blogul pe care te afli acum e un fel de magazin second-hand care vinde produse la mâna a treia. Ce fac eu, de fapt, e să iau niște informații care sunt scrise într-o limbă de lemn și le redau într-un limbaj ușor accesibil, pentru că sunt niște chestii prea marfă ca să nu știi de ele. Numai că și limba asta de lemn este de fapt o traducere. Ea este o transpunere dintr-un alt limbaj ceva mai dubios și mai greu de înțeles: matematica, o limbă pe care puțini oameni o cunosc și o pot “vorbi” fluent.

Am scris postarea asta dintr-un motiv foarte bun: nu pentru că aș ști matematică, ci pentru că am vrut să găsesc un răspuns la întrebarea “ok, știu că matematica este super importantă pentru știință, dar de ce?”. Acum poate că ar fi momentul să îți spun că eu nu am mai “vorbit” în matematicheză din clasa a X-a (adică mai departe de înmulțiri și împărțiri). De fapt, am fost prin clasa a VII-a la faza pe școli a olimpiadei de matematică și m-am întors cu glorioasa notă 1. Atât de multe înțelegeam din ea. Jur că nici nu știu cum de am trecut la matematică până în clasa a IX-a, cu notă peste 7. Știu că sună a clișeu, dar sunt aproape paralel cu ea.

Având în vedere toate acestea, oare poți ajunge să înțelegi matematica destul cât să o apreciezi, dar fără să știi o boabă din ea? Adică fără să fie nevoie să rezolvi logaritmi și ecuații de gradul doi. Pentru unii sună a erezie, dar eu zic că poți face asta. În fond, poți aprecia și înțelege muzica și fără să știi notația muzicală sau definiții din ea, nu? Sigur, dacă știi muzică o să vezi Bolero de Maurice Ravel cu alți ochi, dar chiar și fără cunoștințe aprofundate poți să apreciezi compoziția.

sicilienne
Ceci n’est pas Bolero.

Apropo de muzică și notație muzicală. Ai deasupra partitura uneia din compozițiile mele preferate de muzică clasică, Sicilienne de Gabriel Fauré. Cel mai probabil nu știi nici să citești, nici să scrii o partitură, pentru că este scrisă într-un limbaj necunoscut ție. Poate recunoști niște note muzicale pe acolo și știi ce-i ăla un portativ, dar restul partiturii te bagă în ceață. Asta pentru că limbajul muzical este un alfabet obscur pentru mine și tine, e o limbă necunoscută care poate intimida.

Dar e de ajuns să pună mâna pe o partitură cineva care știe muzicaleza ca să aducă Raiul pe Pământ. Tu habar n-ai ce scrie acolo, dar știi prea bine care-i sunt efectele și înțelegi de ce zicea la un moment dat Henry Wadsworth Longfellow că “muzica este limbajul universal al omenirii”. O partitură ascunde în simbolurile ei un Univers întreg de trăiri și sentimente, chiar și amintiri. Totul pe o foaie de hârtie. Important e să fie cineva care să poată să decodifice acest limbaj.

Matematica este la fel, din punctul ăsta de vedere: o serie de simboluri, indescifrabile pentru oricine nu se îndeletnicește cu ea, înșiruite pe o foaie de hârtie. Matematicianul, întocmai ca un muzician virtuoz, când vine și pune mâna pe niște formule matematice, are puterea de a schimba pentru totdeauna felul în care vedem lumea din jur și realitatea însăși.

Simbolurile folosite sunt probabil cea mai intimidantă parte din întreaga matematică. Adică, de ce nu pot scrie și ei în cuvinte, ca oamenii?! De fapt și de drept, majoritatea notației pe care o folosim în ziua de azi a apărut abia în secolul al XVI-lea, înainte de asta ea fiind scrisă majoritar în cuvinte. Faptul că nu a rămas așa ar trebui să îți dea de gândit. Motivul este unul bun și simplu: scrisă în cuvinte, ea era foarte limitată în ceea ce privește descoperirile. Matematicienii nu puteau inova.

mathematics2
Fiecare formulă și ecuație matematică ascunde o grămadă de informații despre Univers care nu pot fi exprimate altfel.

Da, e foarte greu pentru un începător să asimileze informații din matematică, dar totul are o noimă, este de fapt un limbaj comprimat: câteva simboluri conțin un volum foarte mare de informații (cum este ecuația E=mc², care în doar trei litere ne spune că masa și energia sunt înrudite, că sunt cazuri în care masa se transformă în totalitate în energie și ne spune câtă energie este obținută în cazurile astea). De asemenea, la fel ca în notația muzicală, și aici e vorba de o sintaxă riguroasă și fixă ce codifică informații care ar fi foarte dificil să le scrii altfel. Și asta-i doar cireașa de pe tort. Nu de puține ori s-a întâmplat ca matematica să știe mai multe despre Univers decât știam noi, după cum avea să afle fizicianul Paul Dirac.

 Ecuația care știa prea multe

Adesea auzi matematicienii sau fizicienii vorbind despre frumusețea și eleganța formulelor matematice. Pentru unii ca mine și ca tine pare a fi un lucru cel puțin dubios și greu de conceput. Cum adică frumusețe și eleganță? Ca în muzică sau pictură? Da! Exact. Pentru cineva care se ocupă de matematică, există o anumită estetică, o frumusețe reală în acest limbaj. Generalitatea și simplitatea sunt două atribute de care se ține cont; există frumusețe într-o demonstrație matematică simplă și elegantă, cum este de exemplu demonstrația matematică a lui Euclid există o infinitate de numere primeBetrand Russel spunea:

Matematica, privită așa cum trebuie, posedă nu doar adevărul, ci și o frumusețe supremă – o frumusețe rece și austeră, ca a unei sculpturi, fără a face apel la natura noastră sensibilă, fără capcanele splendide ale picturii sau muzicii și totuși sublim de pură și capabilă de o perfecție gravă cum numai cea mai de seamă artă poate arăta. Adevărata încântare, exaltarea, ideea de a fi mai mult decât un simplu Om, care reprezintă standardul celei mai înalte excelențe, se regăsește în matematică în aceeași măsură ca în poezie.

De aceeași părere era și Paul Dirac, care s-a hotărât la un moment dat să facă ceva ce nu făcuse nimeni până atunci: să unifice știința (fizica, mai exact), să aducă sub același acoperiș metaforic diferitele ramuri împrăștiate ale ei.

Teoria Întregului

Teoria întregului (Theory of Everything) este Sfântul Graal al fizicii și al științei în general: o teorie ipotetică care leagă și poate descrie toate aspectele fizice ale Universului. De la cuarci și protoni la stele, galaxii, găuri negre și spațiu-timp.

theoryofeverything
Am pus imaginea asta doar ca să arate drăguț paragraful. Și romantic. Da, fizica e romantică.

În momentul de față fizica se împarte în două cadre teoretice mari și late: fizica cuantică (care are treabă cu moleculele, atomii și particulele subatomice) și teoria generală a relativității (care are treabă cu stele, galaxii, clustere de galaxii și în general felul în care se comportă tot ce e mai mare decât un atom). Problema cu ele este că, în felul în care sunt formulate acum, sunt incompatibile, adică nu le poți folosi pe amândouă în același timp, ca să explici ceva, că se bat cap în cap. Cum domeniile de aplicabilitate ale fizicii cuantice și teoriei generale a relativității sunt atât de diferite, se cere doar folosirea uneia dintre ele la un moment dat. Oamenii de știință încearcă de ceva vreme să le unească.

Teoria Întregului (dacă am găsi-o) ar putea uni toate forțele fundamentale (forța tare nucleară, forța slabă nucleară, forța electromagnetică și forța gravitațională), ar putea descrie comportamentul oricărui tip de particule din Univers și ar putea descrie cum se comportă spațiul și timpul în orice circumstanțe. În momentul de față știm chestiile astea, dar fragmentat. Doar bucățele. În ultimele decenii a apărut așa-numita string theory, care are ambiția de a realiza acest lucru. E încă ceva ipotetic, fiindcă are și ea problemele ei, și nu este luată foarte în serios de oamenii de știință, din lipsă de dovezi concrete. 

Țelul ăsta al lui era ceva monumental: el încerca să unifice fizica cuantică cu teoria specială a relativității. Zic că este monumental, pentru că domeniile astea două fac parte din două lumi diferite: fizica cuantică (mecanica cuantică) este un set de formule care descrie comportamentul atomului și a componentelor lui, în timp ce teoria specială a relativității (a nu se confunda cu teoria generală a relativității) se ocupă cu natura spațiului și timpului și descrie cum se comportă obiectele când se apropie de viteza luminii.

Una din problemele de atunci era că formulele din fizica cuantică dădeau numai răspunsuri greșite când venea vorba de electronii cu o viteză apropiată de cea a luminii. Trebuia făcut ceva în legătură cu asta. Și mai e o chestie, Dirac avea un fix: el spunea că o teorie fizică trebuia să aibă frumusețe matematică. Adică nu se putea să fie un amalgam aiurea de simboluri, ci trebuia să fie simplă, frumoasă și să fie o desfătare pentru minte și ochi. S-a chinuit trei ani întregi să aducă ambele lumi într-o singură ecuație, dar într-o seară din 1928 a descoperit în sfârșit ce căuta de atâta amar de vreme:

diracequation

Ecuația lui Dirac, cum a fost ea formulată inițial.
Ecuația lui Dirac, cum a fost ea formulată inițial.

Uită-te la ea și minunează-te, aceasta este așa-numita ecuație Dirac. Sus ai versiunea simplificată a ei, iar la dreapta ai versiunea originală. În momentul de față nu e nevoie să știi ce înseamnă fiecare simbol (nici eu nu știu), e de ajuns să stai și să te holbezi la ea și să te gândești la ce urmează să îți spun. Este efectiv una din cele mai frumoase și puternice ecuații din istoria omenirii.

Îți spuneam mai sus că la fel ca o partitură, matematica ne poate spune o grămadă folosindu-se de doar câteva simboluri. Ecuația de mai sus descrie felul în care se comportă realitatea la un nivel fundamental, mai exact descrie într-un mod simplu și elegant o particulă atomică ce călătorește la orice viteză (până la viteza luminii) și ne spune cum se comportă în acel caz. Bine, asta știa și Dirac și fix asta se aștepta să găsească, dar uitându-se mai atent la această ecuație, a observat ceva deosebit: ecuația pe care tocmai o descoperise știa mai multe decât el! Ea îi spunea că există un Univers de care noi nu știusem niciodată.

Ecuația lui Dirac îi dezvăluia un secret: pe lângă materia normală (din care suntem făcuți noi, Pământul, Soarele, galaxia noastră), ea îi vorbea și de un lucru nou și ciudat: antimateria. Ea spunea că pentru fiecare particulă din Univers exista o particulă cu aceeași masă, dar opusul ei în oricare altă privință. Astfel, era foarte posibilă existența unui Univers compus din atomi de antimaterie, care să fie o imagine în oglindă a Universului în care ne aflăm noi.

Saturday Morning Breakfast Cereal - 09.12.2010
Saturday Morning Breakfast Cereal – 09.12.2010

Iarăși, nimeni nu știa de chestia asta la vremea aceea. Nimeni nu se gândea că ar putea exista așa ceva, adică efectiv nu-i trecuse nimănui prin gând. Și totuși, o ecuație avea să ne spună mai multe despre Univers decât căutam. Normal, toată comunitatea științifică a fost destul de sceptică în momentul ăla. Paul Dirac însuși se îndoia de ecuația sa și e de înțeles: el nu numai că nu căuta antimateria, nici nu îi trecea prin minte că ar putea exista așa ceva.

Dar uite că s-a dovedit a fi o descoperire validă. Serios, tot ce spune ecuația de mai sus s-a adeverit. Inclusiv faza cu antimateria. În ziua de azi, antimateria (cu precădere anti-electroni, numiți pozitroni) este produsă destul de des într-o grămadă din laboratoarele de pe mapamond. Ba chiar pozitronii sunt folosiți în spitale la PET (positron emission tomography) scans pentru a observa diverse procese metabolice din corpul uman.

Ai zice că ăsta e un caz singular, dar lumea matematicii e plină de astfel de predicții incredibile. Și Albert Einstein s-a găsit în aceeași situație în momentul în care a formulat teoria generală a relativității: el a observat că ea îi spunea ceva de-a dreptul dubios, cum că Universul se extinde. De ce este așa ciudat? Pentru că la vremea aceea toată lumea știa că Universul era static și nu avea cum să se extindă. “Offensichtlich ist die Gleichung falsch.” și-a spus Einstein pe sub mustață, așa că a introdus așa-numita constantă cosmologică (notată cu lambda – Λ) care să corecteze această greșeală. Numai că problema era la elnu la ecuație: ani mai târziu Edwin Hubble avea să dovedească prin observații că Universul chiar se extinde! Ecuația avea dreptate și știa mai multe decât Einstein, acesta spunând mai târziu că introducerea constantei cosmologice a fost cea mai mare greșeală din viața lui.

 Do, Re, Mi, Fa, Σ, n²√a, π, Ø

Având în vedere puterea predictivă a matematicii, mai mult ca sigur are o origine nobilă, nu? Oare a apărut din nevoia fundamentală de a înțelege Universul? Oare se aprinsese în noi scânteia autocunoașterii? Mnu…matematica era cunoscută până în secolul al XVIII-lea ca știință a cantității, și fix așa a pornit: în încercarea exprimării unor cantități. Oamenii din Paleolitic au văzut că au într-o parte niște mere, în altă parte niște pere, așa că au început să le numere, ca să le țină seama. Fie că vorbim de numărat ogoare, mere din coș, zile și nopți sau taxe, aici este originea matematicii. Da, a apărut pentru că taxe. Întâmplător, și scrisul are aceeași origine.

Aritmetică și algebră 

Primele lucruri pe care le-ai învățat din matematică în școală au fost aritmetica și algebra. În general lumea nu știe care-i care și ce face fiecare dintre ele, așa că hai să vedem care-i faza:

Osul Ishango, expus la Royal Belgian Institute of Natural Sciences
Osul Ishango, expus la Royal Belgian Institute of Natural Sciences

Aritmetica (din greacă ἀριθμός arithmos – “număr”) este cea mai veche și elementară ramură a matematicii. Este fundamentală și se ocupă cu studiul numerelor și a proprietăților operațiilor dintre ele: adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Deși interpretarea sa este disputată, osul Ishango pare a fi cea mai veche dovadă a folosirii aritmeticii (adunării, mai exact), având cam 20.000-18.000 de ani vechime. Este fibula unui babuin pe care sunt inscripționate o serie de liniuțe care, spun unii, indică adunarea unor numere. Dacă ți se pare prea vagă și speculativă treaba asta, cele mai vechi izvoare scrise sigure ce țin de operații aritmetice elementare aparțin egiptenilor și babilonienilor, de prin 2.000 î.e.n.

 

Algebra (din arabică “al-jabr” – “reuniunea bucăților rupte”) este o ramură ceva mai avansată a matematicii și studiază simbolurile matematice împreună cu regulile manipulării acestora. Algebra elementară diferă de aritmetică prin faptul că se folosesc tot felul de abstracții: de exemplu, litere care să țină locul numerelor care fie sunt necunoscute, fie au mai multe valori. De exemplu x+2=5 (unde x este o necunoscută) sau E=mc² (unde E, m și c țin locul unor valori stabilite și cunoscute). 

Poți face și matematică de dragul matematicii, nu neapărat să o aplici în vreun domeniu, dar matematica recreațională (ca să zic așa) este doar una din multele ramuri ale întregului domeniu. În ziua de azi matematica are sute și sute de ramuri: de la aritmetică, algebră și geometrie până la criptografie, statistici, teoria haosului și multe altele.

De ce este atât de importantă pentru noi? Pentru că ne permite să cuantificăm realitatea și să o înțelegem: de exemplu, cu ajutorul matematicii nu doar știi că Pământul te atrage cu o anumită forță, ci știi exact cu câtă forță te atrage. Știind asta, poți afla de câtă forță ai nevoie pentru a învinge atracția Pământului și să ajungi în spațiu, la stele.

Calvin & Hobbes - 10.09.1986
Calvin & Hobbes – 10.09.1986

Poate că pentru mine și tine nu pare a fi mare brânză că poți cuantifica realitatea, dar lucrul ăsta în sine este cea mai puternică unealtă de care dispunem, iar împreună cu metoda științifică ne-a dat tot ce avem azi. Carl Friedrich Gauss spunea că este “Regina Științelor”, iar Benjamin Peirce că este “știința care trage concluziile necesare”. Originile sale sunt modeste (odinioară ne ajuta cu treburile lumești), dar în ziua de azi ne ajută să răspundem la cele mai arzătoare întrebări ce țin de Universul în care locuim și de realitate. Matematica este esențială (a se citi nu poți face nimic fără ea) într-o grămadă de domenii: științele naturii (biologie, fizică, astronomie, chimie), inginerie, medicină, economie și științe sociale.

Acum, o întrebare arzătoare este: având în vedere că ne spune atâtea lucruri despre Univers și pare a fi adânc înrădăcinată în Natură, a fost matematica inventată sau descoperită? Există ea și fără oameni? Asta este una din cele mai mari necunoscute, la ora actuală, iar părerile sunt împărțite:

  • Pe de o parte îi avem pe Realiști sau Platonicieni care susțin că matematică este independentă de inteligența umană și că obiectele matematice (numerele, cercurile) sunt “reale”, deci matematica a fost descoperită de oameni. Cam cum descoperi o specie nouă de castraveți. 
  • Pe de altă parte îi avem pe Nominaliști sau NeoPragmatici care susțin că matematica este pur și simplu un limbaj, deci, ca orice limbaj, o creație a culturii umane. Matematica este creată și nu există independent de inteligența umană. 

Eu, unul, habar n-am care-i adevărul, în discuția asta (o discuție foarte aprinsă). În prima parte a postării am vorbit dintr-o perspectivă NeoPragmatică, iar în partea a doua am vorbit de matematică dintr-o perspectivă Platoniciană. Nu mă pot exprima, nu am destule cunoștințe necesare. De ce am scris postarea asta? Pentru că după cum am spus la început (scriu și aici, în caz că îți place să citești postări de la sfârșit la început) poți înțelege și învăța să apreciezi matematica și fără să știi foarte multe din ea. Merită să încercăm. Asta fiindcă pentru mulți dintre noi este prea târziu să mai intrăm în oceanul ăsta al matematicii mai mult decât până la glezne.

Da, da, știu chestia cu niciodată nu e prea târziu să înveți ceva, dar unii chiar nu au timp fizic și nici dispoziția necesară, pe lângă faptul că efectiv nu mai pot asimila informații atât de bine. Dar unii dintre noi or să aibă copii la un moment dat, alții deja au, și este foarte important să insufli în ei interesul sau măcar înțelegerea și aprecierea pentru matematică, tocmai pentru că ea ne-a adus unde suntem în ziua de azi ca tehnologie, cultură și cunoștințe. E foarte greu să exagerezi importanța ei în evoluția speciei umane. Și nu ai cum să faci pe copil să aprecieze și să înțeleagă matematica (și orice domeniu, de fapt), dacă tu însuți nu o apreciezi și nu o înțelegi.

XKCD, spunându-le pe bune.
XKCD, spunându-le pe bune.

 

Print Friendly, PDF & Email